Suma i resta de polinomis

Una vegada definida l'expressió algebraica de polinomi i els seus principals elements, anem a centrar-nos en aquesta entrada en l'operació de suma i en l'operació de resta de polinomis.

Suma de polinomis

Per a sumar dos o més polinomis, col·loquem els diferents polinomis un baix de l'altre, de tal manera que coincidisquen en la mateixa columna els monomis semblants, és a dir, els que tenen la mateixa part literal. Anem a veure-ho sobre un exemple, consistent a sumar aquests tres polinomis:

Polinomi A:     3x³ – 5x² + 6x – 5

Polinomi B:        - x² + 8

Polinomi C:     2x² – 3x + 1

Suma  A + B + C

A:                 3x³ – 5x² + 6x – 5
B:                         - x²          + 8
C:                         2x² –  3x  + 1
A + B + C=   3x³ – 4x² + 3x +4
 
Oposat d'un polinomi

L'oposat d'un polinomi és un altre polinomi que, sumat amb ell, ho anul·la. Anem a veure un exemple:

Polinomi A:  4x³ + 2x² – 3x + 5
Oposat d'A: - 4x³ - 2x² + 3x – 5
Suma:           0x³ + 0x² + 0x + 0

Resta de polinomis

Per a restar dos polinomis, se suma el primer polinomi amb l'oposat del segon polinomi. En altres paraules, canviem el signe del segon polinomi i sumem els dos polinomis. Vegem el seu desenvolupament a través d'un exemple.

Polinomi A:    3x³ + 5x² – 6
Polinomi B:     -x² – 2x + 3
El polinomi oposat -B és:  - (-x² – 2x + 3) = + x² +2x -3

La resta A-B seria:

Polinomi  A:  3x³ + 5x² + 0x – 6
Polinomi -B:          + x² + 2x – 3
A-B:               3x³ + 6x² +2x -  9

Fonts:

- Llibre de Text Matemàtiques 2n E.S.O. J. Colera, I. Gaztelu. Editorial Anaya.

Polinomis

Abans de definir l'expressió algebraica de Polinomi, anem a recordar el concepte de suma (o resta) indicada explicat en l'entrada anterior. Direm que la suma (o resta) queda indicada quan els monomis a sumar (restar) no són semblants, és a dir, tenen diferent part literal. 

A partir d'aquesta definició obtenim el concepte de polinomi. En general, entenem per polinomi la suma (o resta) indicada de diversos monomis. 

Abans de continuar amb l'explicació de polinomi, anem a veure altres sumes (o restes) indicades de monomis més senzilles. 

Denominarem binomi a la suma (o resta) indicada de dos monomis. Vegem alguns exemples: 

2x + y 

 x² - 2y 

Es defineix trinomi com la suma (o resta) indicada de tres monomis. Per exemple: 

2x² - 4x +1

y² + 2y - 3

Una vegada vistos els concepte de binomi i trinomi, anem a continuar amb l'explicació dels polinomis, estudiant els seus elements més importants a través de diversos exemples.

5x⁵ + 3x² - 2x +8

-2x³ + x – 5

6x⁴ + 3x³ – 2x + 5

Definim grau d'un polinomi com el major dels graus dels monomis que el formen. En l'exemple anterior, 6x⁴ + 3x³ – 2x + 5, el monomi de major grau és 4, per tant, podem dir que el nostre polinomi és de quart grau. 

Definim valor numèric d'un polinomi quan les lletres o valors desconeguts prenen valors concrets i per tant el polinomi pren un valor concret. En el nostre exemple,

• si x= 1 -----  el valor numèric és:  6 · 1⁴ + 3 · 1³ – 2 · 1 + 5 = 6 + 3 – 2 + 5 = 12
• si x= 2 -----  el valor numèric és:  6 · 2⁴ + 3 · 2³ – 2 · 2 + 5 = 6 · 16 + 3 · 8 – 4 + 5 = 121

Com podem observar, el valor numèric d'un polinomi depén del valor que prenguen les lletres o valors desconeguts.

Fonts:

- https://pixabay.com
- Llibre de Text Matemàtiques 2n E.S.O. J. Colera, I. Gaztelu. Editorial Anaya.

Monomis

L'expressió algebraica més senzilla és el monomi. Un monomi és el producte d'un valor conegut (coeficient) per un o diversos valors desconeguts, representats normalment per lletres (part literal).

Es diu que dos monomis són semblants quan tenen igual part literal. Per exemple:

(4x) ――  (-5x) La part literal dels dos monomis és x, i per tant són monomis semblants.

(-2xy) ―― (3xy)   La part literal dels dos monomis és x·y, i per tant són monomis semblants.

A continuació anem a treballar amb monomis les operacions bàsiques de suma, resta, multiplicació i divisió.

• Suma (resta) de monomis.

Per a poder sumar (restar) dos monomis han de complir la condició de ser monomis semblants, és a dir, que tinguen igual part literal. En cas contrari direm que la suma (resta) queda indicada.

La suma (resta) de dos monomis semblants es calcula sumant (restant) els coeficients, mentre que la part literal queda igual. Vegem alguns exemples:

5x + x = 6x

x³ + 3x³ – 2x³ = 2x³ (se sumen els coeficients 1, 3, -2)

5x² – x = 5x² – x  (no són monomis semblants)-----------Suma indicada.

• Multiplicació de monomis.

Anem a treballar la multiplicació de dos monomis a través d'un exemple senzill:

Monomi 1: 2x⁴

Monomi 2: 3x⁵

Multiplicació: (2x⁴) · (3x⁵) = (2 · 3) · (x^{4 + 5}) = 6x⁹

Com es pot observar, d'una banda es multipliquen els coeficients (2 · 3), i per l'altra banda, multipliquem la part literal, la qual cosa significa sumar els graus dels dos monomis (x^{4 + 5}).

El resultat final de la multiplicació de dos monomis és sempre un altre monomi.

• Divisió de monomis.

En aquest cas, el resultat de dividir dos monomis pot ser:

1. Nombre: 2x³ / 3x³ = 2 / 3
2. Monomi: 6x⁴ / 3x³ = (6 / 3) · (x^{4 – 3}) = 2x
3. Fracció algebraica:  (2xy) / (6y²) = (2 / 6) · (xy / y²) = (1 / 3) · (x / y) = x / 3y

Fonts:

- Llibre de Text Matemàtiques 2n E.S.O. J. Colera, I. Gaztelu. Editorial Anaya.

Mètodes de resolució de sistemes d'equacions lineals

A l'hora de resoldre sistemes d'equacions lineals, anem a partir del sistema més senzill, és a dir, aquell que està format únicament per dues equacions lineals. Un exemple d'aquest sistema seria:

3x – y = 3

x + 2y = 8

L'objectiu de la resolució d'aquest sistema d'equacions és trobar el valor numèric de X i Y. Per a açò, farem ús dels tres mètodes existents de resolució de sistemes d'equacions lineals.

• Mètode de substitució.

Consistix a aïllar una incògnita en una de les dues equacions, la que vulguem, i l'expressió obtinguda se substituix en l'altra equació. Anem a treballar-ho mitjançant un exemple:

3x – y = 3

x + 2y = 8 --------- x = 8 – 2y------ Substituïm aquesta expressió en la primera equació.

3(8 – 2y) – y = 3 Aquesta equació només té una incògnita. Resolent-la obtenim que:

24 – 6y – y = 3 ------  7y = 21 ------  y = 3

Substituint y = 3 en l'equació obtinguda en aïllar x obtenim que:

x = 8 – 2(3) = 2 

I per tant la solució del sistema és: x = 2, y= 3.

• Mètode d'igualació.

Consistix a aïllar la mateixa incògnita en ambdues equacions i llavors igualem ambdues expressions. En el nostre exemple:

3x – y = 3 ---------x =(3 + y) / 3

x + 2y = 8---------x= 8 -2y

Igualant ambdues expressions: (3 + y) / 3 = 8 – 2y 

Realitzant les oportunes operacions, arribem a la solució: y = 3.

Substituint y = 3 en qualsevol de les expressions aïllades, obtenim que x = 2.

• Mètode de reducció.

En aquest mètode es multipliquen les equacions pels nombres adequats perquè els coeficients d'una de les incògnites siguen oposats. I sumant membre a membre les equacions, aquesta incògnita desapareix. En el nostre exemple:

3x – y = 3  (la multipliquem per dos)-------6x – 2y = 6

x + 2y = 8 (no es multiplica)-----------------  x + 2y = 8  (sumem membre a membre)

                                                                    7x         = 14

D'on obtenim que x = 2. Substituint el valor de x en qualsevol de les equacions inicials, tenim y = 3.

Fonts:

- Llibre de Text Matemàtiques 2n E.S.O. J. Colera, I. Gaztelu. Editorial Anaya.

Sistemes d'equacions lineals

En l'àlgebra lineal, un sistema d'equacions lineals és un conjunt d'equacions lineals, és a dir, equacions lineals de grau un. Per al cas de dues equacions lineals la seua expressió algebraica quedaria de la següent forma:

ax + by = c

a'x + b'y = c'

La solució del sistema és la solució comuna a les dues equacions. Quan el sistema té una única solució es diu que és un sistema compatible determinat. Des d'un punt de vista gràfic, la solució d'un sistema d'equacions lineals coincidix amb el punt de tall de les rectes que representen a les equacions. Vegem totes aquestes definicions a través d'un exemple. Siga el següent sistema d'equacions lineals:

2x + 3y = 9

x – y = 2

La solució del sistema comú a ambdues equacions és el punt: x = 3, y = 1. Si representem gràficament aquest punt podem observar que és el punt de tall de les dues equacions.

Pot ocórrer que el sistema d'equacions no tinga solució, en aquest cas es diu que les equacions són incompatibles. Un exemple d'açò és que les rectes siguen paral·leles, és a dir, gràficament mai es tallen. Vegem un exemple:

x + y = 5

x + y = 1

Un altre cas especial a l'hora de resoldre un sistema d'equacions lineals és que les equacions siguen equivalents i per tant el sistema tinga infinites solucions. En aquest cas es diu que el sistema és compatible indeterminat. Des d'un punt de vista gràfic, les dues rectes se superposen. Vegem un exemple d'aquest cas:

-3x + 6y = 12

-x + 2y = 4

Fonts:

- Llibre de Text Matemàtiques 2n E.S.O. J. Colera, I. Gaztelu. Editorial Anaya.
- https://upload.wikimedia.org

Jocs matemàtics

En l'actualitat existixen molts jocs matemàtics que ens permeten aprendre àlgebra d'una manera senzilla i divertida, mentres juguem. Solen ser jocs d'endevinalla que utilitzen eines matemàtiques com a base teòrica per a la seua construcció. 

La majoria d'aquests jocs usen operacions algebraiques en les quals les incògnites es cancel·len, la qual cosa ens permet conèixer per avançat el resultat de l'endevinalla. 

Vegem a continuació un exemple de joc matemàtic que ens va a ajudar a comprendre millor el funcionament d'aquest mètode:

1. Pensa en un nombre qualsevol.
2. Multiplica aquest nombre per 2.
3. Al resultat que et dóna suma-li 9.
4. Al resultat suma-li el nombre que vas pensar.
5. Al resultat obtingut ho dividixes per 3.
6. Al que et quede li sumes 4.
7. I a aquest resultat resta-li el nombre que vas pensar.

El resultat final de calcular aquestes operacions és sempre 7, independentment del nombre que siga triat al principi del joc matemàtic.

Anem a veure ara com es calcula la solució usant el llenguatge algebraic:

1. Pensa en un nombre qualsevol:  X
2. Multiplica aquest nombre per 2:  2X
3. Al resultat que et dóna suma-li 9:  2X + 9
4. Al resultat suma-li el nombre que vas pensar:  2X + 9 + X
5. El resultat obtingut ho dividixes per 3:  (2X + 9 + X) / 3 = (3X + 9) / 3 = X + 3
6. Al que et quede suma-li 4:  X + 3 + 4
7. I a aquest resultat resta-li el nombre que vas pensar:  X + 7 – X = 7

Com podem observar les X es cancel·len i el resultat final sempre és 7.

Ja pots utilitzar aquesta endevinalla matemàtica amb els teus companys de classe!!!

Fonts:

- http://www.galeon.com/filoesp/ciencia/matematicas/recreativas.htm
- http://www.disfrutalasmatematicas.com/

Olimpíada Matemàtica Nacional 2.016

Esteu interessats a participar en la pròxima edició de l'Olimpíada Matemàtica Nacional?

La Federació Espanyola de Societats de Professors de Matemàtiques (FESPM) és l'encarregada de convocar anualment aquest esdeveniment. El pròxim tindrà lloc a finals de Juny de 2.016 i el termini d'inscripció ja està obert.

Es realitzen activitats estructurades en proves individuals i per equips, les quals pretenen ressaltar les capacitats de resolució de problemes, les components culturals de les matemàtiques i l'esperit del treball col·laboratiu. A més de les activitats matemàtiques es duen a terme activitats lúdic-recreatives i culturals amb l'objectiu de conèixer les característiques socials, històriques i culturals del lloc on s'organitza l'Olimpíada.

Aquesta activitat se celebra a Espanya des de 1964 sota el patrocini de la Reial Societat Matemàtica Espanyola i va dirigida especialment a alumnes, tant de centres privats com a públics, d'Educació Secundària i Batxillerat.

Aquesta activitat està organitzada en tres fases:

• Fase provincial: se celebra en cada província espanyola i en ella se seleccionen als alumnes que passaran a la següent fase.
• Fase regional: se celebra en aquelles comunitats que estan constituïdes per més d'una província i en ella se seleccionen als alumnes que acudiran a la fase nacional.
• Fase nacional: participen representants de totes les Societats de Professorat de Matemàtiques que componen la FESPM. Servix de trobada nacional per a tots els concursants de les fases anteriors.

La Societat Al-Khwarizmi és l'encarregada d'organitzar l'Olimpíada Matemàtica de la Comunitat Valenciana. Per al 2.016 les fases de l'Olimpíada són:

• Fase comarcal: 16 d'abril de 2.016.
• Fase provincial: 7 de maig de 2.016.
• Fase regional o autonòmica: 28 i 29 de maig de 2.016.

Per a més informació pots visitar els següents enllaços:

• http://www.semcv.org/olimpiadamat
• http://www.fespm.es/-Olimpiada-Matematica-